The Parallel Field

一张纸质地图放在汽车车门储物袋里,直到它变得像布一样柔软。道路首先在折痕处褪色,于是你最常走的那条路线反而变成你再也认不出来的那条。在红灯前,总有那么一刻,一只手伸过去,用一个动作把整张纸展开,副驾驶座上便铺满了一片风景。

正是这个动作,让这种折叠图案得以流传至今。世人称之为三浦折叠,而我们编号为FSA-0004、命名为The Parallel Field的这张纸,正属于这一家族。它没有留下作者的记录。它是传统的、公共的,比我们如今赋予它的用途更为古老,在它出现在纸面之前,早已存在于双手之中。

它现代的声誉来自工程学。Miura, K. 研究了一个表面如何能够被折叠收纳、又无需逐褶调整地展开,而这同一种锯齿形网格后来被应用于太阳能阵列、出现在食品包装中,也在某些叶片离开芽苞的方式里被发现。但这种图案更古老的生活是家常的:包装纸、打褶的布料、在汽车站旁售卖的旅游地图——是一种用手腕而非用眼睛去学习的东西。

这张纸必须弯曲

折纸通常被描述为若干平面板块围绕铰链转动,这是一种方便的谎言。这种网格并不遵循这一说法。当纸面合拢时,折痕之间的四边区域无法保持平整;纸张会微微弯曲、抵抗,然后才屈服。你会在动作进行到一半时感受到它——一种与最终形状毫无关系的弹性。

正是这种抵抗,使得这一折叠的页面呈现为一系列绘制的步骤图,而非可动的三维模型。这一家族的模型要么必须伪造这种弯曲,要么将其冻结,而这两种选择都会让你的双手学到不真实的东西。我们通常公布的两个数值——纸面展开时上升的高度、合拢过程中移动的距离——在此处付之阙如,因为面对一个会弯曲的表面,我们无法诚实地测量它们。

我们能够核验的是平摊状态。Kawasaki, T. 与 Maekawa, J. 给出了折叠顶点在不撕裂的情况下平摊的条件,而这张纸在每一个关键之处都满足这些条件。它通过了我们的标准检验;关于这些检验,我们只说这么多。

这片田野本身

二十一个角。四十条折痕。其中九个角位于内部,四面被包围,正是在那里,算术必须成立;这九个角全部可以平摊折叠。折痕之中,十八条为山折,六条为谷折,十六条沿边界分布,这是一个失衡的比例,赋予了这张纸强烈的方向性纹理。

这一图案中的每一个角度都只能是60°或120°,别无其他。正是这种克制,使这一折叠能够凭触觉学会:你的手指遇到的始终只有两种形状,在整片田野中以错位的行反复出现,到第三行之后,你便不再计数。

合拢时,它只有一只手掌大小。展开后,它是一个国度。