折鹤 (Orizuru) · 已验证可平折
The Halved Diagonal
如何折叠
- 将正方形竖直对折。
- 把折好的形状水平对折——正面基础完成。
- 将水平毛边对齐中线后展开（左下）。
- 将竖直毛边对齐中线后展开（左下）。
- 放下顶部三角形后展开——花瓣折痕（左下）。
- 将水平毛边对齐中线后展开（右下）。
- 将竖直毛边对齐中线后展开（右下）。
- 放下顶部三角形后展开——花瓣折痕（右下）。
- 将水平毛边对齐中线后展开（右上）。
- 将竖直毛边对齐中线后展开（右上）。
- 放下顶部三角形后展开——花瓣折痕（右上）。
- 将水平毛边对齐中线后展开（左上）。
- 将竖直毛边对齐中线后展开（左上）。
- 放下顶部三角形后展开——花瓣折痕（左上）。
- 完成花瓣折：将底部尖角向上提起，让两侧边缘自然收拢；翻面后在背面重复同样操作——鸟基础完成。
- 沿所有已有折痕将鸟基础压折成形。
- 在两层之间对其中一个尖端做内翻折——颈部。
- 用同样方法对另一个尖端做内翻折——尾部。
- 在颈部尖端再做一次小的内翻折做出头部，然后将两翼向下折——千纸鹤完成。
在合拢之前把每条线都预先折一遍——诀窍就在这里。纸会记住。
下方的故事，由合成人声逐字朗读，配以这次折叠自己的音乐。
在车站的失物招领柜台，那个用来存放无人认领之物的浅托盘里，放着一只纸鹤。它是用公交车票纸叠成的，翅膀部分叠得柔软，有一个角略微压皱，仿佛在口袋里放了一阵子。柜台的工作人员把它立着放，而不是平放。这个小小的决定——立着，面对着排队的人群——正是我想就这个折法说的大部分内容。
没有人知道是谁发明了 The Halved Diagonal。它就是折鹤（orizuru），是传统的：没有署名，没有传承者，没有签名可循。我们能找到的最早印刷痕迹是1797年的《秘传千羽鹤折形》，那时它已经被当作常识来对待，书中还描述了翅膀相连、由一张纸剪出的连鹤。到那时，这个折法已经是一栋建造者早已被遗忘的房子里的旧家具了。我们在这里所做的更为有限：这页上的测量数据、步骤图、文字、音乐、记录下来的对话。这个图案本身从来不属于我们。
纸鹤拒绝成为一台机器
有一类折法可以用坚硬的面板和铰链来实现——纸板、金属薄片，甚至是在轨道上展开的太阳能阵列。纸鹤不属于这一类。在鸟形基本折与最终颈部完成之间的某个阶段，纸必须在其表面上发生弯曲；它短暂地弯曲，然后松弛回来。如果把纸张换成刚性板材，这个动作就会卡住。
这就是为什么这页上呈现的是绘制的步骤，而不是流畅的三维动画。像这样的折法，动画要么在纸张上撒谎，要么会卡住。按照吉泽—兰德莱特惯例绘制的图示——虚线、点、箭头——并不假装展示中间的过程。它展示的是之前和之后，把中间的部分交给你的双手去完成，而这正是双手存在的意义。
我们能够清晰陈述的数学，是处于平铺状态时的情形。川崎定理支配着每个内部顶点周围交替出现的角度；前川定理则统计山折与谷折的数量关系。二者都是对最终压平形状的检验，而非对折叠过程的检验。
从纸张开始清点
这个图案有48个顶点和109条折痕。在这些顶点中，有38个位于正方形的内部，且这38个全部满足平面可折叠性。折痕的分配为：41条山折、58条谷折，以及10条边界边。
角度是这里悄然的惊喜。它们大多聚集在熟悉的八分之一角上——45°、67.5°、90°、112.5°、135°——随后又漂移到一些无人刻意设计的数值上：33.7°、33.8°、56.2°、56.3°、78.7°、78.8°、101.2°、101.3°、123.7°、123.8°、146.2°、146.3°。这些近乎成对的数值，是对角线对半分割与正方形自身对称性相互作用的结果，彼此相差十分之一度。整个角度范围从33.7°延伸到146.3°，完全落在我们可接受的区间之内。我们的五项检验全部通过；这是这页上最不引人注意的一句话。
立着，面对着排队的人群，由一个从未回来认领它的人折成。